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Les nombres univers

Le projet Pi et DecimalsSearch

A l'origine je voulais faire un site consacré seulement au nombre Pi. L'objectif du projet était de comprendre sa série infinie de décimales. Pi reste à ce jour un nombre mystérieux. On sait qu'il est irrationnel, que sa suite de décimales est infinie mais nous ne savons rien encore sur ses décimales même. Bien que les premiers milliers milliards de décimales calculées montrent que Pi semble normal, et donc nous laissent penser qu'il serait un nombre univers, il n'y a aucune certitude. Et le calcul de ses décimales reste encore très coûteux en ressources (mémoire et unités de calcul) ce qui complique pas mal l'étude. Il en est d'ailleurs de même pour le nombre racine de 2 qui pourrait nous cacher les mêmes propriétés. Le premier (et seul) site du projet Pi est DecimalsSearch, un moteur de recherche de décimales de nombres irrationnels. Sorti en 2012, des nombres irrationnels se sont rajoutés au fil du temps et j'ai essayé d'aller le plus loin possible dans le calcul des décimales. Ainsi la première année, le site ne recensait que 1 milliard de décimales pour Pi. Aujourd'hui il en recense au moins 53 milliards de décimales calculées par mes soins, puis plus récemment, 750 milliards depuis que Google s'est lancé dans la course. En 2012, j'avais sorti en parallèle un autre site faisant parti du projet Pi qui était un solveur d'équations linéaires à 1, 2 et 3 inconnus ainsi que de matrices 3x3. Cela me permettait de vérifier mes résultats en module d'algèbre durant ma L1... Il n'existe plus aujourd'hui pour la bonne raison qu' à cette époque, j'écrivais mes sites en Visual Basic qui tournaient sur un serveur Microsoft IIS et que j'ai changé plus tard pour un serveur Linux. Financièrement, ce changement de serveur était beaucoup mieux pour moi bien que j'ai du recoder entièrement DecimalsSearch en PHP cette fois. Mais le site a gagné en réactivité. Je n'ai en revanche pas pris la peine de recoder le solveur.

La constante de Champernowne, un simple nombre... univers

Le dernier nombre que je viens de faire rentrer dans la famille de DecimalsSearch est la constante de Champernowne en base 10 C(10). Les décimales de cette constante sont facilement calculables pour n'importe quelle personne sachant compter. En effet, David Gawen Champernowne, statisticien renommé du Royaume-Uni, a démontré que en concaténant les entiers naturels positifs les uns à la suite des autres pour en former les décimales, nous obtenons un nombre transcendant parfaitement normal et donc univers ! L'ensemble des entiers naturels positifs sont dans les décimales de cette constante et nous savons tous que cet ensemble est infiniment grand. Vous pouvez donc prendre n'importe quel suite de chiffres, très grande si vous le souhaitez, elle sera de toute évidence présente dans les décimales de C(10) et une infinité de fois en plus. Prenons la suite '11' par exemple : on la retrouve dans le nombre 11, dans le nombre 110, dans le nombre 111, dans le nombre 211... etc. Ce sont des collisions. La suite '11' est ainsi présente une infinité de fois dans l'ensemble infini des entiers positifs et donc dans les décimales de C(10). Et cela fonctionne pour n'importe quelle autre suite.

Techniquement, le calcul des décimales de C(10) ainsi que des collisions sont effectués côté client. C'est à dire que c'est directement votre appareil (ordinateur, tablette ou smartphone) qui calcule contrairement aux autres nombres irrationnels comme Pi, racine de 2, phi... où c'est le serveur qui fournit les décimales. Afin de travailler avec de très très grand nombres qui dépassent largement la taille maximale d'un double sur une architecture 64 bits, j'ai utilisé une librairie JavaScript (BN.js pour BigNumber.js) développé par Fedor Indutny. Cette librairie travaille les nombres comme des chaînes de caractères et les stocke dans des structures de données type tableau.

Le code de Dieu ?

J'adore les mathématiques. Mais je ne suis pas très bon. Je suis fasciné par les nombres univers. Dans leur infinité de décimales, vous avez mot pour mot tout le contenu du dernier livre que vous avez acheté. C'est juste incroyable. Votre code génétique tout entier, vos photos de vacances (mêmes ratés, mêmes photoshopés), votre passé, votre futur, les plans de construction de la prochaine navette spatiale, toutes les vidéos plan par plan, les musiques, ce que je suis en train d'écrire... tout cela est quelque part dans les décimales... ABSOLUMENT TOUT n'est qu'un extrait déjà écris depuis toujours dans leurs décimales. Quelque part...


Les décimales de C(10) converties en ASCII. Toute votre vie est écrite quelque part une infinité de fois dans cette page Web infinie. Il faut "juste" connaître la position. Lien : http://piproject.com/decimals/champernowne_text.html

Le premier paragraphe de la page Wikipédia de Stephen Hawking a été retrouvé à la

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(d'où l'utilisation de BN.js car "très grand" nombre) dans les décimales de la constante de Champernowne en base 10. Il ne s'agit bien entendu que d'une collision parmi une infinité.

La personne qui voudrait s'approprier le contenu de cette page, bien que ce soit stupide on ne peut pas s'approprier l'Infini, pourrait se trouver être la personne la plus puissante de l'Univers. En effet, elle pourra se dire auteur du Tout et revendiquer ainsi toute future production ou future découverte comme sa propre création. Car on sait forcément que quoi qu'il puisse y avoir, c'est de toute évidence déjà écrit dans les décimales de C(10) ou de tout autre nombre univers. Pour rigoler je dis souvent à mes collègues : "Si Pi est univers, alors toutes les solutions à tous nos problèmes solubles se trouvent simplement dans ses décimales. Sinon c'est dans la constante de Champernowne. Il suffit de chercher."

L'Univers ou l'Infini ?

Mais finalement la constante de Champernowne n'est juste qu'un nombre parmi l'infinité des nombres réels. Et si on affirme que tout est contenu dans les décimales de C(10), alors cela voudrait dire que tout le contenu infini de la page Web plus haut est quelque part lui aussi dans cette même page Web ? C'est paradoxal mais c'est précisément là où je suis fasciné, on peut supposer des infinis dans des infinis. Il nous est impossible de déterminer la position exacte de quelque chose qui ne se termine jamais dans l'infinité de décimales des nombres univers mais on est sûr qu'il s'y trouve. Bref, c'est exactement dire qu'on est sûr de trouver l'infini dans l'infini. Par exemple, on est d'accord que les décimales de Pi sont infinies. Et je peux vous assurer que toutes ses décimales sont contenues dans les décimales de C(10) mais je ne peux pas vous dire où car elles sont infinies. Par contre si on ne se limite qu'aux 20 premières décimales de Pi, on a une collision à la 272.074.196.068.475.365.810ème position dans les décimales de C(10). Pour les 30 premières, on en retrouve une à la 4.136.668.496.582.686.042.768.190.387.260ème position et c'est vrai pour autant de décimales de Pi que vous le souhaitez soit l'infini donc. Et ce qui est rigolo dans tout ça, c'est que si Pi serait univers (mon fantasme), alors on retrouverait l'infinité de décimales de C(10) dans Pi une infinité de fois alors que ce dernier présente déjà lui même une infinité de collisions dans C(10). Enfin au moins, avec le même raisonnement que l'on vient d'avoir, on est certain que l'infinité des décimales de C(10) est compris une infinité de fois dans C(10) lui même... Ça fait mal à la tête certes mais c'est incroyable !

Conclusion

Nous nous apercevons que nous ne sommes finalement que du Rien dans ce Tout. Et le Tout n'est, face à lui même, que du Rien. C'est le paradoxe de l'Infini. Et si l'Univers est infiniment grand, alors il est sans logique. Notre existence serait dans ce cas fortement remise en question. Nombreux sont ceux qui cherchent une théorie du Tout, notamment l'éminent cosmologue Stephen Hawking. Pour vous remercier d'avoir lu mon charabia jusqu'au bout, je vous montre un extrait du film "Un home d'exception" que j'ai vu il y a quelques mois. On me l'a conseillé et je l'ai beaucoup aimé. C'est un biopic assez romancé de l'économiste américain John Nash, et ci-dessous, une de mes scènes favorites. Je vous le conseille. Dans ce même genre de film que j'ai beaucoup aimé, il y a "Une merveilleuse histoire du temps..." qui est un biopic assez récent sur Stephen Hawking et "Imitation Game" qui lui parle du cryptologue Alan Turing.

Thomas

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